Question

设f(x)=ax²+bx+c,当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时，|f(x)|≤7.

Answer 1

证明:由于f(x)是二次函数，|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(-)|.故只要证明

|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|-|≤2时，有|f(-)|≤7.

由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.

由得

∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+ f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7,

|f(-2)|=|4a-2b+c|

=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|

≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|

≤1+3+3=7.

∵|b|=|f(1)-f(-1)|≤(|f(1)|+ |f(-1)|)≤(1+1)=1,

∴当|-|≤2时，|f(-)|=||=|c-|=|c-·|≤|c|+||·≤1+2×=2＜7.

因此当|x|≤2时，|f(x)|≤7.