Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；
（3）求二面角P-BD-A的大小余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明AD⊥PA，AD⊥AB，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面PAB；
（2）由题意得，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角，判定△PBC是直角三角形，即可得出结论；
（3）过点P作PH⊥AB于H，过H作HE⊥BD于E，连接PE，证明∠PEH为二面角P-BD-A的平面角，即可得出结论．
解答：（1）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，
可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA；
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB；
（2）解：由题意得，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角
在△PAB中，由余弦定理得=
由（1）知AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
故△PBC是直角三角形，
∴tan∠PCB==，
∴异面直线PC与AD所成的角的余弦值为；
（3）解：过点P作PH⊥AB于H，过H作HE⊥BD于E，连接PE
∵AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
∴AD⊥PH
∵AD∩AB=A
∴PH⊥平面ABCD
∴∠PEH为二面角P-BD-A的平面角
∵PH=PAsin60°=，AH=PAcos60°=1
∴BH=AB-AH=2，BD==
∴HE==
在直角△PHE中，tan∠PEH=
∴二面角P-BD-A的余弦值为．
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．