Question

【题目】已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.

（1）证明：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；

（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程。

（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，

所以经过，又为中点，所以，所以

，所以的面积为定值.

（2）因为直线与圆交于两点，，

所以的中垂线经过，且过，所以的方程，

所以，所以当时，有圆心，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以直线与圆交于点两点，故成立；

当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），

综上所述，圆的方程为.