Question

【题目】已知菱形所在平面，，为线段的中点, 为线段上一点，且．

（1）求证： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】分析：（1）取的中点，连接，得，由线面平行的判定定理得平面，连接交与点,连接，得，进而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，进而得到平面．

（2）建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

详解：（1）证明：取的中点，连接

∵为的中点，

∴

∴平面．……………………2分

连接交与点,连接

∵为的中点，

∴

∴平面……………………4分

∵

∴平面平面

又平面

∴平面．…………6分

（2）如图，建立空间直角坐标系

则

∴………7分

设平面的法向量为

则，即

不放设得……………………8分

设平面的法向量为

则，即

不放设得……………………10分

则二面角的余弦值为……………………12分