Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4

3

x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点F(

3

，0)，∴c=

3

…（1分）
又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x-1）
代入椭圆方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

4k2+1

 ，x1x2=

4k2-4

4k2+1

…（5分）
∵

PE

=(m-x1，-y1)，

QE

= (m-x2，-y2)
∴

PE

•

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

…（7分）
=

(4m2-8m+1)(k2+ 1 4 )+(m2-4)- 1 4 (4m2-8m+1)

4k2+1

=

1

4

(4m2-8m+1)+

2m- 17 4

4k2+1

…（9分）
当2m-

17

4

=0，即m=

17

8

时，

PE

•

QE

为定值

33

64

…（10分）
当直线l的斜率不存在时，P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)
由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

) ，

QE

=(

9

8

，

3

2

)，∴

PE

•

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

综上所述，当E(

17

8

，0)时，

PE

•

QE

为定值

33

64

…（12分）