题目内容
如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：A、P、D、F四点共圆；
（2）若AE•ED=24，DE=EB=4，求PA的长．
分析：（1）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；
（2）由（1）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．
（2）由（1）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．
解答：解（1）证明：∵DE2=EF•EC，∴
=
，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；
（2）由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，
又BE•EC=AE•ED=24，∴EC=6，EF=
=
，PE=9，PB=5，PC=PB+BE+EC=15，
由切割线定理得PA2=PB•PC=5×15=75，
所以PA=5
为所求．
| DE |
| CE |
| EF |
| ED |
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；
（2）由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，
又BE•EC=AE•ED=24，∴EC=6，EF=
| DE2 |
| EC |
| 8 |
| 3 |
由切割线定理得PA2=PB•PC=5×15=75，
所以PA=5
| 3 |
点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，圆内接四边形的判定定理，其中（1）的关键是证得∠P=∠EDF，（2）的关键是求出PB，PC的长，为切割线定理的使用创造条件．
练习册系列答案
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