Question

已知函数f（x）=

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x³+bx²+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2-x）=f′（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）若函数在区间（m，n）内的图象从左到右的单调性为依次为减-增-减-增，则称该函数在区间（m，n）内是“W-型函数”．已知函数g（x）=（x²+k）•

f′(x)

在区间（-1，2）内是“W-型函数”，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f′（2-x）=f′（x）可得其对称轴x=1，据此可得b值，求出直线y=4x-12与x轴交点（3，0），则f（3）=0，且f′（3）=4，从而可解得c、d值，根据f′（x）的符号即可求得函数的单调区间；
（2）利先求出g（x），求导，然后根据“W-型函数”，转化为方程再区间的上的根的问题，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），
∴函数y=f′（x）的图象关于直线x=1对称，则b=-1．
∵直线y=4x-12与x轴的交点为（3，0），
∴f（3）=0，且f′（3）=4，即9+9b+3c+d=0①，且9+6b+c=4②，由①②解得c=1，d=-3．
∴f(x)=

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x3-x2+x-3
（2）∵f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴g（x）=（x²+k）•

f′(x)

=（x²+k）•|x-1|=

(x2+k)(x-1)，x∈[1，2) (x2+kx)(1-x)，x∈(-1.1)

当x∈[1，2）时，g′（x）=3x²-2x+k，
当x∈（-1，1）时，g′（x）=-3x²+2x-k，
①若g'（x）=0在（-1，1）上有两根，且g'（x）≥0对x∈[1，2）恒成立
当x∈（-1，1）时，

△=4-12k＞0 g′(-1)＜0 g′(1)＜0

且x∈[1，2）时，g'（1）≥0，
解得：-1＜k＜

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②若g'（x）=0在（-1，1）上有一根，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有一根
x∈（-1，1）时，

g′(-1)＜0 g′(1)＞0

且x∈[1，2）时，

g′(1)＜0 g′(2)＞0

解得：-5＜k＜-1
③若g'（x）≤0在（-1，1）上恒成立，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有两根
而x∈[1，2）时，g'（x）=3x²-2x+k对称轴为x=

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，所以不可能有两根，舍去．
综上：-5＜k＜-1或-1＜k＜

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点评：本题考查函数的单调性的判断及函数最值的求解，导数是研究函数有关性质的强有力工具，考查分类讨论思想，属于难题．