Question

19．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的各边中点．
（1）当空间四边形ABCD满足条件AC=BD时，四边形的形状是菱形．
（2）若AC+BD=a，AC•BD=b，则EF²+FG²=$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，故只需EF=FG即AC=BD即可得出四边形EFGH为菱形；
（2）用AC，BD表示出EF，FG，利用完全平方公式即可得出答案．

解答 解：（1）由中位线定理得EF=HG=$\frac{1}{2}AC$，且EF∥HG，
同理可得：EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，且EH∥FG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴当AC=BD时，EF=EH，即四边形EFGH为菱形．
（2）∵EF=$\frac{1}{2}AC$，FG=$\frac{1}{2}BD$，
∴EF+FG=$\frac{1}{2}$（AC+BD）=$\frac{a}{2}$，EF•FG=$\frac{1}{2}AC•\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{4}b$，
∴EF²+FG²=（EF+FG）²-2EF•FG=$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{b}{2}$=$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．
故答案为：AC=BD，$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．

点评 本题考查了空间直线的位置关系，完全平方公式，属于基础题．