题目内容
已知椭圆E：
＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1) 当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2) 若Rt△MAB面积的最大值为
，求a；
(3) 对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．
解：(1) 由题，a2＝c2＋1，d＝
≥2，当c＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为
＋y2＝1.
(2) 不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由
① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，
由MA⊥MB知直线MB的斜率为－
，
.
当t＝
时取“＝”，∵ t＝≥2，得a>
＋1.而(S△MAB)max＝
＝，故a＝3或a＝
(舍)．综上a＝3.
(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上．
当k＝1时，A
，直线AB过定点Q
.下面证明A、Q、B三点共线：
由kAQ＝kBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q
.
练习册系列答案
相关题目
＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．
的值；
＋
＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
，求点T的坐标；
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
.
r.
＝λ
，求λ的最大值．
＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.