Question

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，B，P为单位圆上不同的点，∠AOB=θ，∠AOP=2θ，0≤θ≤π．
（Ⅰ）当θ为何值时，

AB

∥

OP

？
（Ⅱ）若

OQ

=

OA

+

OB

，则当θ为何值时，点Q在单位圆上？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，

AB

=（cosθ-1，sinθ），

OP

=（cos2θ，sin2θ），利用共线向量坐标间的关系即可求得θ；
（Ⅱ）设Q（x，y），则

OA

+

OB

=（cosθ+1，sinθ），由点Q在单位圆上得（cosθ+1）²+sin²θ=1，结合0≤θ≤π即可求得θ．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，

AB

=(cosθ-1，sinθ)，

OP

=(cos2θ，sin2θ)，
∵

AB

∥

OP

，
∴（cosθ-1）sin2θ=sinθ•cos2θ，
∴sinθ=sin2θ，sinθ≠0，
∴cosθ=

1

2

，又因为0≤θ≤π，所以θ=

π

3

．
（Ⅱ）设Q（x，y），则

OQ

=(x，y)，
又∵

OA

+

OB

=（cosθ+1，sinθ），
∴

cosθ+1=x sinθ=y

，
∴（cosθ+1）²+sin²θ=1，
∴cosθ=-

1

2

，又0≤θ≤π，
∴θ=

2π

3

．

点评：本题考查圆的参数方程，着重考查共线向量坐标间的关系及点在单位圆上，其坐标满足圆的方程的应用，属于中档题．