Question

（2012•泸州一模）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α．
（Ⅰ）求

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四边形OAQP的面积为S，f(θ)=(

OA

•

OQ

-1)S+S2，求f（θ）的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（I）由∠AOB=α可得α的终边与单位圆交于点B（-

3

5

，

4

5

），根据三角函数的定义，可求出α的正切值，进而利用弦化切技巧可求出

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值．
（Ⅱ）由条件可得OAQP为平行四边形，它的面积S=2S_△AOP=sinθ，化简函数f（θ）的解析式为

2

2

sin（2θ-

π

4

）+1，由此根据正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的最大值及此时θ的值．

解答：解：（I）∵∠AOB=α，∴α的终边与单位圆交于点B（-

3

5

，

4

5

），∴tanα=

y

x

=

4 5

- 3 5

=-

4

3

．
∴

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

=

4-2tanα

5+3tanα

=

4+ 8 3

5-4

=

20

3

．
（Ⅱ）∵∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，故四边形OAQP为平行四边形，
∴四边形OAQP的面积为S=2S_△AOP=2×

1

2

×1×1sinθ=sinθ．
∵A（1 0），P（cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OQ

=

OA

•(

OA

+

OP

)=

OA

2+

OA

•

OP

=1+cosθ．
∴f(θ)=(

OA

•

OQ

-1)S+S2=cosθ•sinθ+sin²θ=

1

2

sin2θ+

1-cos2θ

2

=

2

2

sin（2θ-

π

4

）+1，
∴当 sin（2θ-

π

4

）=1，即 2θ-

π

4

=

π

2

时，即 θ=

3π

8

时，函数f（θ）取得最大值为

2 +1

2

．

点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的最值，熟练掌握三角函数的定义及性质是解答的关键，属于中档题．