Question

设有半径为3 km的圆形村落，AB两人同时从村落的中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落周解的方向前进，后来恰好与B相遇，设AB两人的速度都已定，其比为3∶1，问AB两人在何处相遇？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设元．由题意可知AB两人的速度分别为3 vkm/h，再设A出发x0h后，在P点改变方向，又经y0h，在点Q处与B相遇，则PQ两点的坐标分别为(3vx0，0)，[0，v(x0＋y0)]，如图所示． 　　(2)找关系．由于A从P到Q行走的时间是y0h，于是有勾股定理，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2， 　　有(3vx0)2＋[v(x0＋y0)]2＝(3vy0)2，化简整理得： 　　(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0，又x0＋y0＞0， 　　所以5x0＝4y0，于是KPQ＝，所以得：KPQ＝． 　　(3)转化为数学问题．由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0＋y0)的值就是问题的答案，于是转化为“当直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝9相切时，求纵截距b的值”． 　　利用圆心到切线的距离等于半径，得(b＞0) 　　因此，A，B相遇的地点是在离村落中心正北km处．

提示：

注意到村落为圆形，且AB两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，已开始时AB的前进方向为x轴、y轴，建立直角坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件．