Question

设有半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇，设A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.

Answer 1

在村北处 

解析:

如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3V千米/小时、V千米/小时，再设出发x₀小时，在点P改变方向，又经过y₀小时，在点Q处与B相遇，

则P、Q两点坐标为(3Vx₀,0)、(0,Vx₀+y₀).由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²,知(3Vx₀)²+(Vx₀+y₀)²=(3Vy₀)²，

即(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0.∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀.        ①

将①代入k_PQ=,得k_PQ=.

又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.

设直线y=x+b与圆O：x²+y²=9相切，则有=3，∴b=.