Question

已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（m，m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判断三角形ABC的形状，求出三角形的面积表达式，推出x+y+z的表达式，P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，推出 x，y，z的约束条件，通过线性规划求出x+y+z的取值范围；
（2）通过m＞0，求出cosA=，利用余弦定理以及基本不等式，求出b+c的范围，然后求出三角形的周长的最大值．
当m＜0时，利用三角形是钝角三角形，通过AB＜BC，AC＜BC，推出三角形的周长小于m＞0时三角形的周长的最大值，得到结论．
解答：解：（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形     …（2分）
  2S_△ABC=3x+4y+5z=12⇒   …（4分）

设t=2x+y，因为P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，
所以   由线性规划得0≤t≤8
∴                                         …（8分）
注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到可得（5分），若给出了等号成立条件可全分．
（2）当m＞0时
由B（m，m），得tanA=，∴cosA=；             …（10分）
△ABC中，由余弦定理有：
25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc≥（b+c）²；当且仅当b=c时取等号，所以b+c≤
所以，三角形的周长最大值为5+                                       …（14分）
当m＜0时，∠BAC为钝角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+
综上所述，△ABC周长的最大值为5+．                   …（16分）
点评：本题是解三角形中的难题，考查三角形的形状的判断，余弦定理，基本不等式的应用，线性规划的应用，分类讨论思想以及计算能力．