已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.{F 1}.{F 2}$为其左.右焦点.e为离心率.P为椭圆上一动点.则有如下说法:①当0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时.使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个,②当e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时.使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}），{F_1}，{F_2}$为其左、右焦点，e为离心率，P为椭圆上一动点，则有如下说法：
①当0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，使△PF₁F₂为直角三角形的点P有且只有4个；
②当e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，使△PF₁F₂为直角三角形的点P有且只有6个；
③当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1时，使△PF₁F₂为直角三角形的点P有且只有8个；
以上说法中正确的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F₁BF₂的取值范围，分别判断，使△PF₁F₂为直角三角形的点P个数．

解答解：如图所示，丨BF₁丨=a，丨OF₁丨=c，设∠BF₁O=θ，则tanθ=$\frac{c}{a}$=e，
①中，当椭圆的离心率0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，即0＜tanθ＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则∠F₁BF₂＞$\frac{π}{2}$，
若△PF₁F₂为直角三角形时，只能是∠PF₁F₂和∠PF₂F₁为直角时成立，
所以这样的直角三角形，只有四个；
②中，当椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，即tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$，此时∠F₁BF₂=$\frac{π}{2}$，此时对应的直角三角形共有六个；
③中，当椭圆的离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1时，即tanθ＞$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜∠F₁BF₂＜$\frac{π}{2}$，此时对应的直角三角形共有八个，
故选D．