Question

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；

(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】∵{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和，

∴Sn＝na＋d.

(1)∵c＝0，∴bn＝＝a＋d.

∵b1，b2，b4成等比数列，∴＝b1b4，

∴，∴ad－d2＝0，∴d＝0.

∵d≠0，∴a＝d，∴d＝2a，∴Sn＝na＋d＝na＋2a＝n2a，

∴左边＝Snk＝(nk)2a＝n2k2a，右边＝n2Sk＝n2k2a，

∴左边＝右边，∴原式成立．

(2)∵{bn}是等差数列，

∴设公差为d1，

∴bn＝b1＋(n－1)d1

代入bn＝，得b1＋(n－1)d1＝，

∴n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)对n∈N*恒成立，

∴ ∴d1＝d.∵d≠0，∴d1≠0.