Question

已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中．
（Ⅰ）求第二次取出红球的概率；
（Ⅱ）求第三次取出白球的概率；
（Ⅲ）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设第n次取出白球、红球的概率分别为P_n，Q_n，利用互斥事件加法公式能求出第二次取出红球的概率．
（Ⅱ）三次取的过程共有以下情况：白白白、白红白、红白白、红红白，由此能求出第三次取出白球的概率．
（Ⅲ）连续取球三次，得分的情况共有8种：5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8，分别求出X=15，18，21，24的概率，由此能求出连续取球3次得分的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设第n次取出白球、红球的概率分别为P_n，Q_n，
第二次取出红球的概率Q₂=

2

5

×

3

3+5

+

3

5

×

3+5

5+5

=

3

5

．
（Ⅱ）三次取的过程共有以下情况：白白白、白红白、红白白、红红白，
∴第三次取出白球的概率是：
P₃=

2

5

×

2+5

5+5

×

2+5+5

5+5+5

+

2

5

×

3

3+5

×

2+5

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

2+5

5+5+5

+

3

5

×

3+5

5+5

×

2

5+5+5

=

2

5

．
（Ⅲ）连续取球三次，得分的情况共有8种：
5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8，
P（X=15）=

2

5

×

2+5

5+5

×

2+5+5

5+5+5

=

28

125

，
P（X=18）=

2

5

×

3

5+5

×

2+5

5+5+5

+

2

5

×

2+5

5+5

×

3

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

2+5

5+5+5

21

125

，
P（X=21）=

3

5

×

3+5

5+5

×

2

5+5+5

+

2

5

×

3

5+5

×

3+5

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

3+5

5+5+5

=

24

125

，
P（X=24）=

3

5

×

3+5

5+5

×

3+5+5

5+5+5

=

52

125

，
∴X的分布列为：

X	15	18	21	24
P	28 125	21 125	24 125	52 125

EX=15×

28

125

+18×

21

125

+21×

24

125

+24×

52

125

=

102

5

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．