Question

1．已知圆x²+y²+2x-3=0和直线y=2x+b．
（1）讨论b怎么决定直线和圆的位置关系的；
（2）若b=-2，则直线与圆是否相交？若相交，请计算出弦长．

Answer 1

分析 （1）将圆C的方程化为标准式求出圆心坐标、半径，由截距式求出直线AB方程，利用切线的条件和点到直线的距离公式建立方程，化简可得结论；
（2）由（1）和条件判断出直线与圆是否相交，由b=-2求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出答案．

解答 解：（1）圆的方程化成标准形式：（x+1）²+y²=4，
则圆心为（-1，0），半径为2，
∴圆心到直线y=2x+b的距离d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$
当$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$=2，即b=$2-2\sqrt{5}$或$2+2\sqrt{5}$时，直线y=2x+b与圆相切，
当$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$＞2，即b＜$2-2\sqrt{5}$或b＞$2+2\sqrt{5}$时，直线y=2x+b与圆相离，
当$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$＜2，即$2-2\sqrt{5}$＜b＜$2+2\sqrt{5}$时，直线y=2x+b与圆相交；
（2）由（1）知，b=-2直线与圆相交，
此时d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴所截得的弦长是2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及分类讨论思想的应用，考查化简、计算能力．