Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（a为实数）．
（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）.f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

．
（II）f′(x)=2a+

2

x3

，因为f（x）在（0，1]上是增函数，所以a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，g（x）在（0，1]上是单调增函数，所以[g（x）]_max=g（1）=-1，由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a≥-1时，由f（x）在（0，1]上是增函数，知[f（x）]_max=f（1）=-6，解得a=-

5

2

，与a≥-1矛盾；当a＜-1时，当x∈(0，

3	- 1 a

 )时，f（x）是增函数，当x∈(

3	- 1 a

，1 )时，f（x）是减函数．由此能导出存在a=-2

2

，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

…（3分）
（II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax- 

1

x2

，
∴f′(x)=2a+

2

x3

，
因为f（x）在（0，1]上是增函数，
所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，
g（x）在（0，1]上是单调增函数，
所以[g（x）]_max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①当a≥-1时，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
所以[f（x）]_max=f（1）=-6，
解得a=-

5

2

，与a≥-1矛盾．…（10分）
②当a＜-1时，
令f'（x）=0，x=

3	- 1 a

∈(0，1]，
当x∈(0，

3	- 1 a

 )时，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＞0，f（x）是增函数，
当x∈(

3	- 1 a

，1 )时，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＜0，f（x）是减函数．
所以[f(x)]max=f(

3	- 1 a

)=-6，
即2a

3	- 1 a

-

1

( 3 - 1 a )2

=-6，
解得

3	- 1 a

=

2

2

，a=-2

2

．
综上，存在a=-2

2

，
使得当x∈（0，1]时，
f（x）有最大值-6．…（14分）

点评：本题考查得用导数求闭区间上最值的应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，是高考的重点，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．