Question

5．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D，E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（1）求A₁B与平面ABD所成角的余弦值；
（2）求点A₁到平面AED的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，由此能求出A₁B与平面ABD所成的角的余弦值．
（2）连结A₁D，有${V}_{{A}_{1}-AED}={V}_{D-A{A}_{1}E}$，由此利用等积法能求出A₁到平面AED的距离．

解答 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连结EF、FC
∵D，E分别是CC₁，A₁B的中点，
又DC⊥平面ABCD，
∴CDEF为矩形，
连接DE，G是△ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，EF²=FG•FD=$\frac{1}{3}F{D}^{2}$，
∵EF=1，∴FD=$\sqrt{3}$，
∴ED=$\sqrt{2}$，EG=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵FC=CD=$\sqrt{2}$，∴AB=2$\sqrt{2}$，${A}_{1}B=2\sqrt{3}$，EB=$\sqrt{3}$，
∴sin∠EBF=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠EBF=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴A₁B与平面ABD所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
（2）连结A₁D，有${V}_{{A}_{1}-AED}={V}_{D-A{A}_{1}E}$，
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，∴ED⊥AE，
设A₁到平面AED的距离为h，
则S_△AED•h=${S}_{△{A}_{1}AB}•ED$，
∴${S}_{△{A}_{1}AE}$=$\frac{1}{2}$${S}_{△{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{4}•{A}_{1}A•AB$=$\sqrt{2}$，
S△AED=$\frac{1}{2}•AE•ED$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴h=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故A₁到平面AED的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．