题目内容

已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立的实数m的范围是 ______．
由题意知两个正数x，y满足x+y=4，
则
1
x
+
4
y
=
x+y
4x
+
x+y
y
=
5
4
+
y
4x
+
x
y
≥
5
4
+1=
9
4
，当
y
4x
=
x
y
时取等号；
∴
1
x
+
4
y
的最小值是
9
4
，
∵不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立，∴m≤
9
4
．
故答案为：m≤
9
4
．
练习册系列答案
相关题目
已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立的实数m的范围是
 
．
对于问题：“已知两个正数x，y满足x+y=2，求
1
x
+
4
y
的最小值”，给出如下一种解法：
Qx+y=2，∴
1
x
+
4
y
=
1
2
(x+y)(
1
x
+
4
y
)=
1
2
(5+
y
x
+
4x
y
)，
Qx＞0，y＞0，∴
y
x
+
4x
y
≥2
y
x
•
4x
y
=4，∴
1
x
+
4
y
≥
1
2
(5+4)=
9
2
，
当且仅当
y
x
=
4x
y
x+y=2
，即
x=
2
3
y=
4
3
时，
1
x
+
4
y
取最小值
9
2
．
参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则
1
A
+
9
B+C
的最小值为
16
π
16
π
．
（2006•重庆一模）已知两个正数x，y满足x+4y+5=xy，则xy取最小值时x，y的值分别为（　　）
已知两个正数x，y满足x+4y+5=xy，则xy取最小值时x，y的值分别为
10
10
，
5
2
5
2
．
已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的范围是     ．

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