Question

对于问题：“已知两个正数x，y满足x+y=2，求

1

x

+

4

y

的最小值”，给出如下一种解法：
Qx+y=2，∴

1

x

+

4

y

=

1

2

(x+y)(

1

x

+

4

y

)=

1

2

(5+

y

x

+

4x

y

)，
Qx＞0，y＞0，∴

y

x

+

4x

y

≥2

y x • 4x y

=4，∴

1

x

+

4

y

≥

1

2

(5+4)=

9

2

，
当且仅当

y x = 4x y x+y=2

，即

x= 2 3 y= 4 3

时，

1

x

+

4

y

取最小值

9

2

．
参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则

1

A

+

9

B+C

的最小值为

16

π

．

Answer 1

分析：参考上述解法，根据题意可知A+B+C=π设A=α，B+C=β则 α+β=π，

α+β

π

=1，将

1

A

+

9

B+C

即

1

α

+

9

β

乘以1化简整理，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件．

解答：解：A+B+C=π，即A+B+C=π，设A=α，B+C=β，则 α+β=π，

α+β

π

=1，
参考上述解法，则

1

A

+

9

B+C

=

1

α

+

9

β

=（

1

α

+

9

β

）（α+β）

1

π

=

1

π

（10+

β

α

+

9α

β

）≥

1

π

（10+6），
当且仅当

β

α

=

9α

β

，即3α=β时等号成立．
故答案为：

16

π

．

点评：本小题主要考查类比推理、基本不等式求最值，解题的关键是等号成立的条件，中档题．