Question

设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线．

(Ⅰ)求抛物线顶点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设抛物线的顶点为，则其焦点为．由抛物线的定义可知：．所以，． 　　所以，抛物线顶点的轨迹的方程为：．　4分 　　(Ⅱ)显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：由于与轨迹交于不同的两点， 　　所以，，即．(＊)　7分 　　又线段恰被直线平分，所以，． 　　所以，．代入(＊)可解得：．　10分 　　设弦MN的中点．在中，令， 　　可解得：．　12分 　　将点代入， 　　可得：．所以，．　14分 　　解法二．设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：． 　　两式相减得：　7分 　　又由于，代入上式得：．　9分 　　又点在弦MN的垂直平分线上，所以，．所以，．　11分 　　由点在线段BB’上(B’、B为直线与椭圆的交点，如图)，所以，． 　　也即：．所以，　14分