Question

设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足

MB

•

NB

=0的M、N两点？证明你的结论．

Answer 1

（1）设抛物线顶点P（x，y），则抛物线的焦点F（2x+2，y），
由抛物线的定义可得

(2x+2-2)2+y2

=4．
∴

x2

4

+

y2

16

=1．
∴轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

16

=1（x≠2）．
（2）不存在．证明如下：
过点B（0，-5）斜率为k的直线方程为y=kx-5（斜率不存在时，显然不符合题意），
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得（4+k²）x²-10kx+9=0，
由△≥0得k²≥

9

4

．
假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k₁、k₂，则|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，显然不可能满足k₁•k₂=-1，
∴轨迹C上不存在满足

MB

•

NB

=0的两点．