Question

10．已知A、B为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，F₁，F₂为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且∠PBF₁=45^°，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 P在渐近线y=-$\frac{b}{a}x$上，根据$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0可知OP=c，从而可求出P点坐标，得出PA⊥AB，故PA=AB，从而得出a，b的关系，代入离心率公式计算即可．

解答 解：由题意可知P在渐近线y=-$\frac{b}{a}x$上，∴y₀=-$\frac{b}{a}{x}_{0}$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，∴PF₁⊥PF₂，
∴OP=$\frac{1}{2}$F₁F₂=c，即x₀²+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}$=c²，∴x₀²=a²，
∴PA⊥x轴，PA=b，
∵∠PBF₁=45^°，
∴PA=AB，即2a=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，属于中档题．