Question

11．在△ABC中，tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，最长边为1，求最短边及面积S．

Answer 1

分析 由题意和两角和的正切可得C，可得c=1，又可得b为最小边，由正弦定理可得b，代入S=$\frac{1}{2}$bcsinA计算可得．

解答 解：∵在△ABC中，tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
∴C=$\frac{3π}{4}$，为三角形的最大角，故最大边c=1，
∵tanA=$\frac{1}{2}$＞tanB=$\frac{1}{3}$，∴a＞b，即b为最小边，
由tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$可得sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinB=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{1×\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}×1×\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理和三角形的边角关系，属中档题．