题目内容

19．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

分析 （Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），普通方程为x2+（y-2）2=4，即x2+y2-4y=0，
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；
（Ⅱ）直线l的方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即x+y-4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|0+2-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴直线l被曲线C截得的弦长=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三种方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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