题目内容
【题目】已知数列{an}满足：a1=1，an= 
，n=2，3，4，…．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， a5的值；
（2）设bn= 
+1，n∈N*，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，
a3= 
+2a2= 
，
a4=1+2a3=7，
a5= +2a4= 
（2）解：由题意，对于任意的正整数n，bn= 
+1，
∴bn+1= 
+1，
又∵ +1=（2 
+1）+1=2（ +1）=2bn，
∴bn+1=2bn，
又∵b1= 
+1=a1+1=2，
∴数列{bn}是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式bn=2n
（3）解：对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中存在连续的2m项构成等差数列．
对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中， 
， 
， 
，…， 
这连续的2m就构成一个等差数列．
我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有 
”，
由（2）得 
，∴ 
，
当k为奇数时， 
= 
，
当k为偶数时， 
=1+2a 
，
记 
，∴要证 
= 
，只需证明 
，
其中 
，k1∈N*，
（这是因为若 
，则当 
时，则k一定是奇数）
有 =
= 
= ，
当 
时，则k一定是偶数，
有 =1+ 
=1+2（ 
）=1+2（ 
）= ，
以此递推，要证 = ，只要证明 
，
其中 
，k2∈N*，
如此递推下去，我们只需证明 
， 
，
即 
，即 
，
由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，
有 
，
对任意的m≥2，m∈N*，
= 
， 
，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，
∴ 
﹣ =﹣ ，
又 
， 
，
∴ 
，
∴ ， ， ，…， 这连续的2m项，是首项为 
，公差为﹣ 的等差数列
【解析】（1）由a1=1，利用递推公式能求出a2 ， a3 ， a4 ， a5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n，bn= +1，从而bn+1= +1，进而bn+1=2bn ， 由此能证明数列{bn}是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式．（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k∈N* ， 在数列{an}中， ， ， ，…， 这连续的2m就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出 ， ， ，…， 这连续的2m项，是首项为 ，公差为﹣ 的等差数列．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
