Question

【题目】已知函数f（x）= 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]
【解析】解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）= ， ∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（ ）=2﹣ ，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2﹣ ≥a+1即可，解得﹣2﹣2 ≤a≤﹣2+2 ，
又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（ ）=2﹣ ，
f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，
而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣ =a+1即可，解得a=﹣2﹣2 或a=﹣2+2 （舍），
综上，a的取值范围是{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]．
所以答案是：{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]．