Question

18．设函数$f（x）=cos（2x-\frac{4π}{3}）+2{cos^2}x$
（1）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位，再向下平移$\frac{3}{2}$个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的最小值，并求出此时x的值；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若$f（B+C）=\frac{3}{2}，b+c=2$．求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，根据三角函数图象变换规律可得$g（x）=-\frac{1}{2}+cos（2x-\frac{2π}{3}）$，由$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可得$2x-\frac{2π}{3}∈[{-\frac{7π}{6}，-\frac{π}{3}}]$，利用余弦函数的图象和性质即可得解．
（2）由f（B+C）=$\frac{3}{2}$，化简得：cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，结合A∈（0，π），可求A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得a²=4-3bc，由b+c=2知：bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=1，当且仅当b=c=1时取等号，即可求得a的最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x
=（cos2xcos$\frac{4π}{3}$+sin2xsin$\frac{4π}{3}$）+（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
所以$g（x）=-\frac{1}{2}+cos（2x-\frac{2π}{3}）$…（3分）
因为$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，所以$2x-\frac{2π}{3}∈[{-\frac{7π}{6}，-\frac{π}{3}}]$
所以当$2x-\frac{2π}{3}=-π$即$x=-\frac{π}{6}$时，函数g（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的最小值为$-\frac{3}{2}$．                    …（6分）
（2）由题意，f（B+C）=$\frac{3}{2}$，即cos（2π-2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
化简得：cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
则有2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，b+c=2，cosA=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc=4-3bc，（10分）
由b+c=2知：bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=1，当且仅当b=c=1时取等号，
∴a²≥4-3=1，
则a取最小值1…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．