Question

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小．

Answer 1

分析：解法一：（1）由题意及图形，利用正方体的特点及异面直线间的公垂线的定义可以求证；
（2）由题意及图形，利用三垂线定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角的大小．
解法二：（1）由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证明两条直线垂直；
（2）由题意及空间向量的知识，抓好两平面的法向量与二面角之间的关系进而可以求出二面角的大小

解答：解：法一（1）连接AC，取AC中点K，
则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM

∥ .

.

1

2

DD′

∥ .

.

OK
所以MO

∥ .

.

AK
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（2）取BB′中点N，连接MN，
则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=

1

2

•

2

2

=

2

4

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

MN

NH

=

1

2 4

=2

2

故二面角M-BC′-B′的大小为arctan2

2

．

法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以M（1，0，

1

2

），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

）

OM

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

AA′

=（0，0，1），

BD′

=（-1，-1，1）

OM

•

AA′

=0，

OM

•

BD′

=-

1

2

+

1

2

+0=0
所以OM⊥AA′，OM⊥BD′
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（2）设平面BMC'的一个法向量为

n1

=（x，y，z）

BM

=（0，-1，

1

2

），

BC′

=（-1，0，1）

n1 • BM =0 n1 • BC′ =0

即

-y+ 1 2 z=0 -x+z=0

取z=2，则x=2，y=1，从而

n1

=（2，1，2）
取平面BC′B′的一个法向量为

n2

=（0，1，0）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

9 •1

=

1

3

由图可知，二面角M-BC′-B′的平面角为锐角
故二面角M-BC′-B′的大小为arccos

1

3

．

点评：本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．