Question

6．一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＜-2或x＞4}，求：
（1）函数f（x）=ax²+bx+c的单调区间．
（2）比较f（2），f（-1），f（5）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出b=-2a，c=-8a且a＞0；写出函数f（x）的图象对称轴，开口方向以及单调性和单调区间；
（2）由函数f（x）图象的对称轴、开口方向，结合|2-1|、|-1-1|和|5-1|的值，得出f（2）、f（-1）和f（5）的大小比较．

解答 解：（1）由一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＜-2或x＞4}知，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2+4=-\frac{b}{a}}\\{-2×4=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，
∴b=-2a，c=-8a；
∴函数f（x）=ax²-2ax-8a=a（x²-2x-4），
函数图象的对称轴是x=1，且开口向上；
∴当x≤1时，f（x）是单调减函数，
x≥1时，f（x）是单调增函数；
∴f（x）的单调减区间是（-∞，1]，
单调增区间是[1，+∞）；
（2）由函数f（x）图象的对称轴是x=1，且开口向上；
且x=1时f（x）取得最小值，|2-1|=1，|-1-1|=2，|5-1|=4，
∴f（2）＜f（-1）＜f（5）．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应函数的关系应用问题，是基础题．