Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

．
（1）求方程f（x）=0的解集；            
（2）当x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=0，得cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0⇒cos

x

2

=0或sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，分别求得其解集后，取其并集即可；
（2）由于f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

2

]⇒x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数y=f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（x）=0，得cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0，
由cos

x

2

=0，
得

x

2

=kπ+

π

2

，x=2kπ+π（k∈Z）                        
由sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，
得tan

x

2

=-

3

，

x

2

=kπ-

π

3

，x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）．                     
所以方程f（x）=0的解集为{x|x=2kπ+π或x=2kπ-

2π

3

，k∈Z}；
（2）∵f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，
∴f（x）∈[

1+ 3

2

，1+

3

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的定义域和值域，突出等价转换思想与综合运算能力，属于中档题．