Question

12．对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T（A）．例如，数列A：a₁，…，a_i，$\underbrace{{a_{i+1}}，…，{a_{i+p}}}_M，\underbrace{{a_{i+p+1}}，…，{a_{i+p+q}}}_N，{a_{i+p+q+1}}，…，{a_n}$（p≥1，q≥1）
经交换M，N两段位置，变换为数列T（A）：a₁，…，a_i，$\underbrace{{a_{i+p+1}}，…，{a_{i+p+q}}}_N，\underbrace{{a_{i+1}}，…，{a_{i+p}}}_M，{a_{i+p+q+1}}，…，{a_n}$．
设A₀是有穷数列，令A_k+1=T（A_k）（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A₀为3，2，1，且A₂为1，2，3．写出数列A₁；（写出一个即可）
（Ⅱ）如果数列A₀为9，8，7，6，5，4，3，2，1，A₁为5，4，9，8，7，6，3，2，1，A₂为5，6，3，4，9，8，7，2，1，A₅为1，2，3，4，5，6，7，8，9．写出数列A₃，A₄；（写出一组即可）
（Ⅲ）如果数列A₀为等差数列：2015，2014，…，1，A_n为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据规律书写即可得出A₁：2，1，3或A₁：1，3，2．
（II）阅读题意，利用定义书写A₃：5，6，7，2，3，4，9，8，1；A₄：5，6，7，8，1，2，3，4，9．
（III）运用推理论证的方法得出：
首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交换其相邻两段a，…，b和c，…，d的位置，所判断得出经过变换T，数列的顺序数至多增加2．
其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，2+2（x-2）≥2014，即x≥1008，论证判断即可．

解答 解：（Ⅰ）A₁：2，1，3或A₁：1，3，2．
（Ⅱ）A₃：5，6，7，2，3，4，9，8，1；                                     
A₄：5，6，7，8，1，2，3，4，9．
（Ⅲ）考虑数列A：a₁，a₂，…，a_n，满足a_i＜a_i+1的数对a_i，a_i+1的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列A₀：2015，2004，…，1的顺序数为0，等差数列A_n：1，2，…，2015的顺序数为2014．
首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交换其相邻两段a，…，b和c，…，d的位置，
变换为数列…，p，c，…，d，a，…，b，q，…．
显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，
即由p＞a，b＞c，d＞q变为p＜c，d＜a，b＜q．
分别将三个不等式相加得p+b+d＞a+c+q与p+b+d＜a+c+q，矛盾．
所以 经过变换T，数列的顺序数至多增加2．
其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，则
2+2（x-2）≥2014，即x≥1008．                            
最后，说明可以按下列步骤，使得数列A₁₀₀₈为1，2，…，2015．
对数列A₀：2015，2014，…，1，
第1次交换1，2，…，1007和1008，1009位置上的两段，
得到数列A₁：1008，1007，2015，2014，…，1010，1009，1006，1005，…，2，1；
第2次交换2，3，…，1008和1009，1010位置上的两段，
得到数列A₂：1008，1009，1006，1007，2015，2014，…，1011，1010，1005，1004，…，2，1；
第3次交换3，4，…，1009和1010，1011位置上的两段，
得到数列A₃：1008，1009，1010，1005，1006，1007，2015，2014，…，1012，1011，1004，1003，…，2，1；…，以此类推
第1007次交换1007，1008，…，2013和2014，2015位置上的两段，
得到数列A₁₀₀₇：1008，1009，…，2013，2014，1，2，…，1006，1007，2015；
最终再交换1，2，…，1007和1008，1009，…，2014位置上的两段，即得A₁₀₀₈：1，2，…，2015．
所以 n的最小值为1008．

点评 本题题干较长，文字较多，显得内容很复杂，阅读分析要仔细，主要考察了解决复杂问题的能力，推理论证的能力，属于难题．