Question

7．已知$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）+2sinx（x∈R）$
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）=$\frac{8}{5}$，求$cos（2x-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间．
（2）由条件求得$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{4}{5}$，再利用诱导公式求得cos（x-$\frac{π}{6}$）的值，利用二倍角的余弦公公式求得$cos（2x-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（1）$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）+2sinx=2cosxcos\frac{π}{6}-2sinxsin\frac{π}{6}+2sinx$=$\sqrt{3}cosx+sinx=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
令$\frac{π}{2}+2kπ＜x+\frac{π}{3}＜\frac{3π}{2}+2kπ⇒\frac{π}{6}+2kπ＜x＜\frac{7π}{6}+2kπ$，
故f（x）的单调递减区间是$（\frac{π}{6}+2kπ，\frac{7π}{6}+2kπ），k∈Z$．
（2）由（1）得$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，由$2sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{8}{5}$，可得$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{4}{5}$，
∵$sin（x+\frac{π}{3}）=sin（\frac{π}{2}-\frac{π}{6}+x）=cos（x-\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，
∴$cos（2x-\frac{π}{3}）=cos[2（x-\frac{π}{6}）]=2{cos^2}（x-\frac{π}{6}）-1=\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．