Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1．
（1）当a=2时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，且对x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；
（2）分离参数，得到a＞x（1-lnx）对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=x（1-lnx），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=2时，$f（x）=\frac{2}{x}+lnx-1$，
所以$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}$，则f'（1）=-1，
又f（1）=1，所以切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）因为a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a＞x（1-lnx）对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，+∞），
则g'（x）=1-lnx-1=-lnx，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数；
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
所以g（x）_max=g（1）=1-ln1=1，
则实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．