题目内容
已知x，y，z∈R+，求证：（1）（x+y+z）3≥27xyz；
（2）
； （3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
【答案】分析：利用基本不等式，结合不等式的性质，即可证明结论．
解答：证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；
（2）∵x，y，z∈R+，∴
≥
=3，
≥
=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得
；
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，x2+y2+z2≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
解答：证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz； （2）∵x，y，z∈R+，∴
≥
=3，
≥
=3，当且仅当x=y=z时，取等号，∴两式相乘，可得
；（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，x2+y2+z2≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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