Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求在区间上的最大值；
（III）设函数，（），试讨论函数与图象交点的个数

Answer 1

（Ⅰ）∵，其定义域为．          1分
∴．                  （2分）
∵，∴当时，；当时，．
故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
当时，在区间上单调递增，的最大值；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，也即该函数在上的最大值，此时的最大值；
∴在区间上的最大值…………………（8分）
（Ⅲ）讨论函数与图象交点的个数，即讨论方程在上根的个数．
该方程为，即．
只需讨论方程在上根的个数， ……………………（9分）
令，．
因，，令，得，
当时,；当时,． ∴，
当时,； 当时,， 但此时，且以轴为渐近线．
如图构造的图象，并作出函数的图象．
①当即时，方程无根，没有公共点；
②当即时，方程只有一个根，有一个公共点；
③当即时，方程有两个根，有两个公共点．

(I)直接求导，根据导数大于零和小于零，求其增减区间即可.
（II）在第（I）问的基础上对a进行讨论求极值，最值.
（III）可以构造函数,然后利用导数研究其图像特征，作出草图，然后数形结合求解.