Question

某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下

产品编号	A1	A2	A3	A4	A5
质量指标（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，1，1）	（1，2，1）
产品编号	A6	A7	A8	A9	A10
质量指标（x，y，z）	（1，2，2）	（2，1，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）

（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品中，随机抽取两件产品，设“取出的2件产品的综合指标之差的绝对值”为随机变量ξ
求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）计算10件产品的综合指票S，得到S≤4的共6件，由此估计该批产品的一等品率为0.6．
（2）ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：

产品编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
S	4	4	6	3	4	5	4	5	3	5

其中S≤4的共6件，
∴该样本的一等品率为

6

10

=0.6，
由此估计该批产品的一等品率为0.6．（5分）
（2）ξ的所有可能取值为0、1、2、3…6分
P(ξ=0)=

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4

C 2 10

=

2

9

，
P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 3 + C 1 3 C 1 1

C 2 10

=

23

45

，
P(ξ=2)=

C 1 2 C 1 3 + C 1 4 C 1 1

C 2 10

=

2

9

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 1

C 2 10

=

2

45

…10分
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	2 9	23 45	2 9	2 45

所以ξ的数学期望为：

49

45

．…12分．

点评：本题考查概率的估计值，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合知识的合理运用．