Question

12．已知等差数列{a_n}的公差d=3，前3项的和为12，
（1）求数列的{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值，且最大值为a₂，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先，设出该等差数列的首项，然后，利用所给条件，确定其首项，然后，得到其通项公式；
（2）根据（1）确定其第2项，然后，根据三角函数的最值，确定其振幅的值，最后，利用点在曲线上，确定其解析式即可．

解答 解（1）设该等差数列的首项为a₁，则
a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=3a₁+9=12，
∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）结合（1）知，a₂=4，
∴A=4，
将点（$\frac{π}{6}$，4）代入函数解析式，得
4sin（$\frac{π}{3}$+φ）=4，
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）的解析式f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题重点考查了等差数列的通项公式、三角函数的图象与性质、函数的解析式的求解方法等知识，属于中档题．