Question

4．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，5]
• B． [$\sqrt{2}$，4]
• C． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，4]

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设P（x，y），用x，y表示出|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|，利用两点间的距离公式转化为P点到M（-1，0）点的距离．

解答 解：以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，1），A（1，0），D（3，0），
设P（x，y），则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$=（x+1，y），
∴|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
设M（-1，0），则|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|=|MP|，
由图可知当P与C重合时|MP|取得最小值$\sqrt{2}$，
当P与D重合时，|MP|取得最大值4，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$，4]．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，线性规划的应用，属于中档题．