Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=

3

，C=

π

3

，sinB-2sinA=0，求a、b．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，继而根据三角函数的性质求得其最小值和最小正周期．
（Ⅱ）根据正弦定理和已知等式求得a和b的关系，进而利用余弦定理求得a，则b可求．

解答： 解：f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
（Ⅰ）∴f(x)的最小值为-2，最小正周期T=

2π

2

=π
（Ⅱ）∵sinB-2sinA=0，
∴b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即（

3

）²=a²+（2a）²-4a²cos

π

3

，
∴a=1或-1（舍去），
∴b=2．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．要求学生对诸如二倍角公式，两角和公式三角函数性质和图象等知识能熟练掌握．