Question

已知函数f（x）=

2

sin（x+φ），0＜φ＜

π

2

，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（α）=

4

5

，

π

2

＜α＜π，求sinα-cosα．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用已知条件以及0＜φ＜

π

2

，求出φ，即可求f（x）的解析式；
（2）结合函数的解析式利用f（α）=

4

5

，推出sinα+cosα，利用同角三角函数的基本关系式，转化出sinα-cosα的表达式，通过

π

2

＜α＜π，求sinα-cosα的值．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵f（0）=

2

sinφ=1，∴sinφ=

2

2

，…（2分）
又∵0＜φ＜

π

2

，故φ=

π

4

，…（4分）
∴函数f（x）=

2

sin（x+

π

4

）．…（5分）
（2）∵函数f（α）=

2

sin（α+

π

4

）=sinα+cosα=

4

5

，
∴（sinα+cosα）²=

16

25

，…（8分）
∴2sinαcosα=-

9

25

，…（10分）
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

34

25

．…（11分）
又

π

2

＜α＜π，∴sinα-cosα=

34

5

．…（12分）

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，函数的解析式的求法注意角的范围的应用，考查计算能力．