Question

已知△ABC，∠B=60°，且sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

．求sinC的值．

Answer 1

分析：利用差化积公式及二倍角余弦公式将已知等式sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

求化为sin

A-C

2

(1-

2

sin

A-C

2

)=0，
求出

A-C

2

=0°或

A-C

2

=45°进一步求出角C，求出sinC的值．

解答：解：∵B=60°，∴∠A+C=120°
∵sinA-sinC=2cos

A+C

2

sin

A-C

2

=sin

A-C

2

∴sin

A-C

2

+

2

2

(1-2sin2

A-C

2

)=

2

2

sin

A-C

2

(1-

2

sin

A-C

2

)=0，
∴sin

A-C

2

=0或1-

2

sin

A-C

2

=0
又∵0°＜A＜120°或0°＜C＜120°
∴-60°＜

A-C

2

＜60°
∴

A-C

2

=0°或

A-C

2

=45°
∴A=C=60° 或A=105°C=15°
当C=60°时，sin60°=

3

2

；
当C=15°时，sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30° =

6 - 2

4

．

点评：本题考查和、差化积公式、二倍角的余弦公式及和、差角的正弦公式，是一道中档题，公式要记熟．