Question

已知△ABC顶点B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），点A满足sinC-sinB=

1

2

sinA，则顶点A的轨迹方程是（　　）

• A、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1
• B、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1
• C、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1(x＞

  a

  4

  )
• D、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1(x＞

  3 a

  4

  )

Answer 1

分析：利用正弦定理可得A是以B，C为焦点的双曲线的右支（除去三点共线情况），根据△ABC顶点B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），可得顶点A的轨迹方程．

解答：解：∵点A满足sinC-sinB=

1

2

sinA，∴由正弦定理可得AB-AC=

1

2

BC，
∴A是以B，C为焦点的双曲线的右支（除去三点共线情况），
∵△ABC顶点B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），
∴顶点A的轨迹方程是

16

a2

x2-

16

3a2

y2=1（x＞

a

4

），
故选C．

点评：本题考查双曲线的定义，考查双曲线的标准方程，考查学生的转化能力，属于中档题．