Question

18．已知函数f（x）=x²-x|x-a|-3a，a＞0．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；
（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，求$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可；
（3）求出f（x）的根，求$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$的表达式，得到其范围即可．

解答 解：（1）$f（x）={x^2}-x|{x-1}|-3=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x-3，x≤1\\ x-3，x＞1.\end{array}\right.$
x≤1时，函数f（x）的对称轴是x=$\frac{1}{4}$，开口向上，
故f（x）在$（{-∞，\frac{1}{4}}）$上单调递减，在$（{\frac{1}{4}，+∞}）$上单调递增．
（2）$f（x）={x^2}-x|{x-a}|-3a=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-ax-3a，x≤a\\ ax-3a，x＞a.\end{array}\right.$，
当0＜a≤3时，f（x）=2x²-ax-3a的对称轴是x=$\frac{a}{4}$＜1，
∴f（x）在[0，$\frac{a}{4}$）递减，在（$\frac{a}{4}$，3]递增，
而f（0）=-3a＜f（3）=0，
∴f（x）的最小值$f（{\frac{a}{4}}）$，最大值f（3）；
当3＜a＜6时，对称轴x=$\frac{a}{4}$，1＜$\frac{a}{4}$＜3，
故f（x）在[0，$\frac{a}{4}$）递减，在（$\frac{a}{4}$，3]递增，
∴f（x）的最小$f（{\frac{a}{4}}）$，最大值f（3），
当6≤a＜12时，
最小值$f（{\frac{a}{4}}）$，最大值f（0）
当a≥12时，最小值f（3），最大值f（0）
（3）$f（x）={x^2}-x|{x-a}|-3a=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-ax-3a，x≤a\\ ax-3a，x＞a.\end{array}\right.$
当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得${x_1}=3，{x_2}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+24a}}}{4}$，${x_3}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+24a}}}{4}$
（因为f（a）=a²-3a＜0，所以x₃＞a舍去）
所以$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|=\frac{1}{3}+\frac{4}{{\sqrt{{a^2}+24a}-a}}=\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{{a^2}+24a}+a}}{6a}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{1+\frac{24}{a}}$，
在0＜a＜3上是减函数，所以$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|∈（{1，+∞}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．