Question

10．已知过点A（-4，0）作动直线m与抛物线G：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．
（1）当直线的斜率是$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AB}$，求抛物线G的方程；
（2）设B、C的中点是M，利用（1）中所求抛物线，试求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）当直线m的斜率为$\frac{1}{2}$时，其方程为x=2y-4，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得2y²-（8+p）y+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理能，结合已知条件能求出抛物线G的方程．
（2）设直线m的方程为y=k（x+4），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-16k=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＞0，
由题意知当直线m的斜率为$\frac{1}{2}$时，其方程为y=$\frac{1}{2}$（x+4），即x=2y-4，
又∵$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AB}$，∴y₂=4y₁，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去x，得2y²-（8+p）y+8=0，
∴△=（8+p）²-64=p²+16p＞0，且y₁+y₂=$\frac{8+p}{2}$，y₁y₂=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=4{y}_{1}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8+p}{2}}\end{array}\right.$，解得p=2，
∴抛物线G的方程为x²=4y．
（2）当直线m垂直于x轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
∴直线m的方程可以设为y=k（x+4），
设B，C中点M（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，得x²=4k（x+4），
即x²-4kx-16k=0，
由△=16k²+64k＞0，解得k＞0，或k＜-4，且x₁+x₂=4k，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+8）=4k²+8k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2{k}^{2}+4k}\end{array}\right.$，消去k，得点M的轨迹方程：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$，
∵k＞0，或k＜-4，∴x＞0或x＜-8．
∴点M的轨迹方程为：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$（x＞0或x＜-8）．

点评 本题考查抛物方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、抛物线性质的合理运用．