题目内容

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（a＞2$\sqrt{3}$）的左焦点为F，左顶点为A，$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，其中O为原点，e为椭圆的离心率，过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q（-3，0），P为线段AD上一点且|AP|=λ|AD|，是否存在定值λ使得OP⊥EQ恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

分析 （1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，可得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$=$\frac{3c}{a（a-c）}$，可得：a=2c，又a2=12+c2，解出即可得出．
（2）存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．下面给出分析：直线AD的方程为：y=k（x+4），则E（0，4k）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+32k2x+64k2-48=0，利用根与系数的关系可得：D（$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$），利用$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ\overrightarrow{AD}$.$\overrightarrow{EQ}$=（-3，-4k）．假设$\overrightarrow{EQ}$⊥$\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{OP}$=0，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，可得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$=$\frac{3c}{a（a-c）}$，可得：a=2c，又a2=12+c2，解得a2=16，c=2．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．下面给出证明：
直线AD的方程为：y=k（x+4），则E（0，4k）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k2）x2+32k2x+64k2-48=0，
∴-4xD=$\frac{64{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，解得xD=$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，∴yD=$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$，∴D（$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ\overrightarrow{AD}$=$（\frac{24λ-12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{24λk}{3+4{k}^{2}}）$．
$\overrightarrow{EQ}$=（-3，-4k）．
假设$\overrightarrow{EQ}$⊥$\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{-3（24λ-12-16{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{96λ{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=0，
化为：（6+8k2）λ=3+4k2，解得λ=$\frac{1}{2}$．
因此存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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