Question

3．已知函数$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的定义域为$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，当$|{x_i}|＜\frac{π}{2}$（i=1，2，3）时，若x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，则有f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值（　　）

• A． 恒小于零
• B． 恒等于零
• C． 恒大于零
• D． 可能大于零，也可能小于零

Answer 1

分析 分析出函数$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的奇偶性和单调性，进而结合x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，可得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒为正．

解答 解：函数$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的定义域$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$关于原点对称，
且满足f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数，
又由$f′（x）=\frac{3{x}^{2}cosx+{x}^{3}sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，在x∈$（0，\frac{π}{2}）$时恒成立，
故x∈$（0，\frac{π}{2}）$时，函数为增函数，
进而可得x∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$时，函数为增函数，
若x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，
则x₁＞-x₂，x₂＞-x₃，x₃＞-x₁，
则f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃），f（x₃＞f（-x₁）=-f（x₁），
即f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₂）+f（x₃）＞0，f（x₁）+f（x₃）＞0，
故2[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）]＞0，
即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒大于零，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．