Question

【题目】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2 ，求DC的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有 ．

因为 ，所以 ．

又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，

所以∠ADC=120°．

于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．

（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x， ．

于是 ， ， ．

在△ABD中，由余弦定理，得 AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB，

即 ，得x=2．

故DC=2．

【解析】（Ⅰ）由正弦定理有 ，又 ，可得 ，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x， ，可求 ， ， ，由余弦定理即可计算得解DC的长．